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「ペイント」で画像を回転させる方法

一、何をしたいのか

Windowsに標準でついている「ペイント」（mspaint.exe）は、その名のとおりペイント系のお絵かきツールです。
ペイント系のツールですから、ドロー系ツールと違い画像の回転はあまり得意ではなく、メニューの[反転と回転...]（Ctrl+R）を使用しても90°単位でしか回転できません。（PhotoShop等、強力なソフトなら別ですが）
「ペイント」にはもうひとつ[伸縮と傾き(S)...]（Ctrl+W）というメニューがあり、こちらを使えば任意の角度で回転させることが出きます。
でも、実際にやってみると、きれいに回転させるのはなかなか難しく

• 図が歪んだり
• 元の大きさと違ってしまったり
• 回転角度が正確でなかったり

してしまいます。
そこで、この[伸縮と傾き(S)...]（Ctrl+W）を使い、画像をきれいに回転させる方法について、考えます。

二、理論？

[変形(I)]-[伸縮と傾き(S)...]（Ctrl+W）でダイアログを表示すると、次の様に四つの設定項目があります。

• 水平方向の伸縮 1〜500(%)
• 垂直方向の伸縮 1〜500(%)
• 水平方向の傾き -89〜89(度)
• 垂直方向の傾き -89〜89(度)

これらは四つの設定項目は、それぞれ一次変換として行列で表現できて、うまくやると、その行列の積で目的の回転行列が作れそうです。一般に交換法則は成り立たないので、変換の順序が重要となります。
回転角度が10°を超えると四つの項目を同時に設定、変換をしてもうまくいきません。
そこで、手始めに「垂直方向の傾き」だけを設定して変換を行い、結果を観察してみます。

• 「傾ける」ではなく「持ち上げる」感じの変換になっている。
• 水平方向にも傾けたいが、単純に-θ°の傾きで変換してもダメっぽい。
• 水平方向に-θ°の傾きで変換をする前に、伸縮による変形が必要。
• 元の水平線はθ°の正しい角度で傾いている。
• 新しい水平線も、0°で正しい角度になっている。
• しかし、水平線の長さはこの時点で既に、目的とする長さより短くなっている。
• 単なる回転による変形（長さが不変）と比べると、水平方向の長さはcosθ：1に短くなっている。
• ということは、cosθ：1に収縮した水平線を、水平方向へ伸張し長さを補正する必要がある。
• 水平方向へ伸張した場合、面積も1：cosθ倍になってしまう。
• 面積を変えないためには、垂直方向にcosθ：1の縮小が必要。
• これらの、水平方向の伸張と垂直方向の縮小によって、元の水平線の角度はθ°より小さくなってしまうが、垂直線が確定すればまた、θ°に戻り解決しそうな予感がする。

ここまでの観察結果から、目的の自由回転を得る為に必要な変換を整理すると、

1. 垂直方向にθ°傾ける。
2. 水平方向に1/cosθ、垂直方向にcosθの伸縮を実行。
   このときに入力できる数値は、500%が上限のため、θ°が78を超える場合は、２回に分けて回転させる必要がある。
3. 水平方向へ-θ°傾ける。

大体こんな感じですが、実際やってみないと分かりませんので、具体例でやってみます。

三、実際にやってみる

画像を用意する。

試しに際に、反時計回りに30°回転させてみる。「ペイント」を起動し画像を読み込んだら、[変形(I)]-[伸縮と傾き(S)...]（Ctrl+W）でダイアログを表示。

反時計回りに30°というのは、垂直方向に傾き30°なので、「30」を入力して変換します。
こんな感じです。

残りの変換を行うため、再度ダイアログを表示します。

1. 水平方向の伸縮 1/cosθ
   windowsの電卓なら、関数電卓にして、〔3〕〔0〕〔cos〕〔1/x〕 = 1.1547…から、「115」を入力。
2. 垂直方向の伸縮 cosθ
   関数電卓で、〔3〕〔0〕〔cos〕 = 0.8660…から、「87」を入力。
3. 水平方向の傾き
   反時計周りの場合、負の値になるので、「-30」を入力。

以上の内容で変換すると。こんな感じ。

回転後も直角は直角になっていて、きれいに30°傾きました。画像の劣化がありますが、これはあらかじめ500%に拡大しておいてから回転後に20%で縮小する等、工夫すれば極力抑えることができます。

四、あとすこし

当初の目的である自由回転は実現できましたが、このままだと、[伸縮と傾き]ダイアログを二度呼び出ししている無駄があるので、もうひと工夫して一度で済ませたいと思います。
先ほどの変換の内容を見ると、

1. 垂直方向の傾き 30(度)
2. 水平方向の伸縮 115(%)
3. 垂直方向の伸縮 87(%)
4. 水平方向の傾き -30(度)

の順序で四つの変換が実行されたことになります。
どうやら「ペイント」では、ダイアログの表示順に（上から順に）変換を行うようなので、それに合わせて変換順序を再検討する必要があります。
先ずは、最初の三つ

1. 垂直方向の傾き 30(度)
2. 水平方向の伸縮 115(%)
3. 垂直方向の伸縮 87(%)

に注目して、この三つの変換順序を逆順にすることを考えてみます。

• 順序を変更しても、同じ図形に変換されなければならない。
• 出来上がった図形は、最初に30°だった傾きが、伸縮により角度が浅くなった。
• よく見ると、「垂直方向の傾き」と「垂直方向の伸縮」では、図形の横幅は変化してない。
• 図形の横幅は「水平方向の伸縮」でしか変形させられないので、「水平方向の伸縮」は 115(%)で確定。
• 「水平方向の伸縮」により、面積が115(%)となってしまったので、面積を87(%)とする変換が必要。
• 「垂直方向の傾き」では面積は変化させられないので「垂直方向の伸縮」が87(%)で確定。
• 結局、二つの伸縮率は変換順序にかかわらず確定する。
• 最後に実行する「垂直方向の傾き」の角度は30°より浅くてよい。

ここで、最初に30°だった傾きが、伸縮によりどう変化したか計算してみます。
最初の勾配はsinθ/cosθで、水平方向の伸張によりcosθ倍になり、垂直方向の縮小によりさらにcosθ倍となっています。
したがって、三つ目までの変換が終了した時点の垂直方向の傾きは

傾き
= arctan( (sinθ/cosθ) × cosθ × cosθ )
= arctan( sinθ × cosθ )

となり、関数電卓で計算すると、
〔(〕〔3〕〔0〕〔sin〕〔*〕 〔3〕〔0〕〔cos〕〔)〕 （Inv）〔tan〕 = 23.413… から、垂直方向の傾きは「23」度だったことが分かりました。
ここまでを整理すると、次のようになります。

1. 垂直方向の伸縮 87(%)
2. 水平方向の伸縮 115(%)
3. 垂直方向の傾き 23(度)
4. 水平方向の傾き -30(度)

ダイアログと比較すると、「水平」と「垂直」が入れ替わっているので、「水平」を「垂直」に、「垂直」を「水平」に置き換えると、

1. 水平方向の伸縮 87(%)
2. 垂直方向の伸縮 115(%)
3. 水平方向の傾き 23(度)
4. 垂直方向の傾き -30(度)

となり、これだと回転方向が逆になってしまうので、角度の符号を入れ替えて、

1. 水平方向の伸縮 87(%)
2. 垂直方向の伸縮 115(%)
3. 水平方向の傾き -23(度)
4. 垂直方向の傾き 30(度)

これで出来ました。

五、付録

「[伸縮と傾き(S)...]（Ctrl+W）ダイアログ」の設定情報をまとめておきます。

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